折り紙を何回折ったら月にとどく？

こんにちは、MSKです。
僕は大学では数学を専攻していたのですが、数学科に入ったきっかけは教師になるためでした。
教師になるためには教育系の科目も履修する必要があります。
その時に出てきた話で面白い話があったので、紹介したいと思います。

折り紙を折る

皆さんは折り紙を使って、遊んだことがあるでしょうか？

おそらく小学校までに何度も遊んだという人が多いと思います。

何回か折ると折り紙が少し厚みを持って、いろいろな形になっていたことを覚えているでしょうか？

余談ですが、僕は長い間折り紙に触れていなかったのですが、子供ができて最近は鶴や飛行機を作ってと言われ、よく触れるようになりました。

今回考えるのは「折り紙を何回折ったら月までとどくのだろうか？」ということです。

物理的には「折り紙は８回程度しか折ることができない」とよく言われています。
（アメリカで検証する番組があって、トイレットペーパーでなら12回まで折った人もいるみたいです。）

ここでは、現実ではできないけど、もし無限に折り紙を折ることができるなら何回目で月まで届くだろうか？ということを考えていきます。

どのくらいだと思いますか？

100回？1000回？それよりも多い回数でしょうか？

理想的な状況を考えて、折っていく

では、折っていきたいと思います。

折り紙の厚さは、0.1mmとします。

まず１回目折ってみると厚さは0.1mmが重なるので、0.2mmになります。
２回目を折ると、次は0.2mmが重なるので、0.4mmです。
３回目を折ると、0.4mmが重なるので、0.8mmです。

同じように、４回目以降も続けていきます。

４回目 : 0.8mm $\times$ 2 = 1.6mm
５回目 : 1.6mm $\times$ 2 = 3.2mm
６回目 : 3.2mm $\times$ 2 = 6.4mm
７回目 : 6.4mm $\times$ 2 = 12.8mm = 1.28cm
８回目 : 1.28cm $\times$ 2 = 2.56cm
９回目 : 2.56cm $\times$ 2 = 5.12cm

１０回目を前に0.1からスタートして約5cmほどの厚みになりました！

でも、月まではまだまだ遠そうです。
ちなみに地球から月までの距離は約384400 kmらしいです。
さて、何回折ることになるやら・・・

続けていきます！

１０回目 : 5.12cm $\times$ 2 = 10.24cm
１１回目 : 10.24cm $\times$ 2 = 20.48cm
１２回目 : 20.48cm $\times$ 2 = 40.96cm
１３回目 : 40.96cm $\times$ 2 = 81.92cm
１４回目 : 81.92cm $\times$ 2 = 163.84cm = 1.6384m

おぉ！！　１４回目にして1mを超えてきました！
少し厚さが増える速度が上がってきたみたいに感じます！

１５回目 : 1.6384m $\times$ 2 = 3.2768m
１６回目 : 3.2768m $\times$ 2 = 6.5536m
１７回目 : 6.5536m $\times$ 2 = 13.1072m
１８回目 : 13.1072m $\times$ 2 = 26.2144m
１９回目 : 26.2144m $\times$ 2 = 52.4288m
２０回目 : 52.4288m $\times$ 2 = 104.8576m

２０回目にして100mをも突破です。

２１回目 : 104.8576m $\times$ 2 = 209.7152m
２２回目 : 209.7152m $\times$ 2 = 419.4304m

２２回目で東京タワー（333m）を超えました！

２３回目 : 419.4304m $\times$ 2 = 838.8608m
２４回目 : 838.8608m $\times$ 2 = 1677.7216m = 1.6777216km
２５回目 : 1.6777216km $\times$ 2 = 3.3554432km
２６回目 : 3.3554432km $\times$ 2 = 6.7108864km

２６回目で富士山（3776m）を超えました！
想像より速く厚みが増えているように感じないでしょうか？
２６回折り紙を折ると富士山より高くなると言われて信じられますか？

２７回目 : 6.7108864km $\times$ 2 = 13.4217728km
２８回目 : 13.4217728km $\times$ 2 = 26.8435456km
２９回目 : 26.8435456km $\times$ 2 = 53.6870912km
３０回目 : 53.6870912km $\times$ 2 = 107.3741824km

地表から宇宙の距離が約100kmほどと言われますので、３０回目で宇宙に飛び出しました！
（国際航空連盟というところが100kmより上空を宇宙と定義しているみたいです。）

３１回目 : 107.3741824km $\times$ 2 = 214.7483648km
３２回目 : 214.7483648km $\times$ 2 = 429.4967296km
３３回目 : 429.4967296km $\times$ 2 = 858.9934592km
３４回目 : 858.9934592km $\times$ 2 = 1717.9869184km
３５回目 : 1717.9869184km $\times$ 2 = 3435.9738368km
３６回目 : 3435.9738368km $\times$ 2 = 6871.9476736km
３７回目 : 6871.9476736km $\times$ 2 = 13743.8953472km
３８回目 : 13743.8953472km $\times$ 2 = 27487.7906944km
３９回目 : 27487.7906944km $\times$ 2 = 54975.5813888km

地球１周が40075kmなので、地球１周分よりも厚くなりました！

４０回目 : 54975.5813888km $\times$ 2 = 109951.162777km
４１回目 : 109951.162777km $\times$ 2 = 219902.325554km
４２回目 : 219902.325554km $\times$ 2 = 439804.651108km

月までの距離が約384400 kmだったので、４２回目で月まで届きました！！

「折り紙を何回折ったら月までとどくのだろうか？」の結論は４２回となりました！

予想と比べてどうでしたか？
思ったよりも多かったでしょうか？　それとも少なかったでしょうか？

ほとんどの人がもっと多いと予想していたと思います。
２倍、２倍と繰り返していくことは予想よりも大きな数になっていくということが分かりますね。

数式で解いてみる

最後に余談ですが、方程式を使って「折り紙を何回折ったら月までとどくのだろうか？」という問題に解答したいと思います。

月までの距離が384400km = 384400000m = 38440000000cm = 384400000000mmです。
折り紙を折るということは厚さが2倍になりますので、おった回数をnで紙の厚さを0.1mmとすると、
0.1 $\times 2^n$ mm
がn回折った時の厚さとなります。

よって、方程式は
$384400000000 = 0.1 \times 2^n$
となります。

もう少し簡単にして、 $2^n = 3.844 \times 10^{12}$ です。
両辺に底2の対数をとります。
$log_2 (2^n) = log_2 (3.844 \times 10^{12})$

この時、
(左辺) $=n$
(右辺) $=log_2 (3.844) + 12 \times log_2(10)$

ここで、
$log_2(3.844)$ $= 1.9426083361117$
$log_2(10)$ $= 3.3219280948874$
なので、
(右辺) $=1.9426083361117$ $+ 39.8631371385$ $=41.8057454746$

よって、n ≒ 42です。

上で計算してきた結果と同じ結果になっていますね。